서론
팩토리얼의 역수의 합이 수렴함은 잘 알려진 사실입니다. 이항 계수의 역수의 합도 수렴할까요?
이항 계수의 역수의 성질 [1]
$$ \begin{matrix} {n \choose k}^{-1} &=& \frac{k!(n-k)!}{n!} \\ &=& \frac{(n-1)!(n-k)!}{n!}(n-(n-k)) \\ &=& \frac{(k-1)!(n-k)!}{(n-1)!}-\frac{n-k}{n-k+1}\frac{(k-1)!(n-k+1)!}{n!} \end{matrix}$$
따라서,
$$ {n \choose k}^{-1}={n-1 \choose k-1}^{-1}-\frac{n-k}{n-k+1}{n \choose k-1}^{-1} $$
이항 계수의 역수의 합 [1]
이제, \( I_{n}=\sum_{k=0}^n {n \choose k}^{-1}\) 라 하였을 때
\( I_n \)과 \(I_{n+1}\) 간의 관계를 구할 것입니다.
위에서 보인 성질을 이용하여 식을 정리해줍니다.
$$ \begin{matrix} I_{n+1} &=& \sum_{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}^{-1} \\ &=& \sum_{k=1}^{n+1}{n+1 \choose k}^{-1} + 1 \\ &=& \sum_{k=1}^{n+1} \{ {n \choose k-1}^{-1} + \frac{n-k+1}{n-k+2}{n+1 \choose k-1}^{-1} \} + 1 \\ &=& I_{n} - \sum_{k=0}^{n}\frac{n-k}{n-k+1}{n+1 \choose k}^{-1} + 1 \\ &=& I_{n} - \sum_{k=0}^{n}\left(1-\frac{1}{n-k+1}\right){n+1 \choose k}^{-1} + 1 \\ &=& I_{n} - \left(\sum_{k=0}^{n}{n+1 \choose k}^{-1} - 1 + 1\right) + \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n-k+1}\frac{k!(n-k+1)!}{(n+1)!} +1 \\ &=& I_n - I_{n+1} + \frac{1}{n+1}I_n +2 \end {matrix}$$
$$ I_{n+1}=\frac{n+2}{2(n+1)}+1$$
이항 계수의 역수의 합의 수렴성
\(a_n = I_n -2\) 라고 합시다.
그러면, 위에서 구한 관계식에 의해
$$ \begin{matrix} a_{n+1}-a_n &=& \frac{n+2}{2(n+1)}(a_n+2)-1-a_n \\ &=& \frac{-na_n}{2(n+1)}+\frac{1}{n+1}=\frac{2-na_n}{2(n+1)} \end{matrix} $$
이를 통해 알 수 있는 것은 \(2 \le na_n\) 일 때 단조감소 한다는 것입니다.
\(n \ge 2\)일때
\( I_n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}^{-1}=2+\sum_{k=1}^{n-1}{n \choose k}^{-1} \)
\(a_n = \sum_{k=1}^{n-1}{n \choose k}^{-1}\)이므로
\(n \ge 4\)일때
\( na_n=n \sum_{k=1}^{n-1}{n \choose k}^{-1} = n\left( {n \choose 1}^{-1} + {n \choose n-1}^{-1} \right) + n \sum_{k=2}^{n-2}{n \choose k}^{-1} \) (a)
\(I_1 = 2, \, I_2=\frac{2}{5}, \, I_3=\frac{8}{3}, \, I_4=\frac{8}{3}\) 이고,
\(k \ge 4\) 부터는 (a)에 의해 단조감소함을 확인할 수 있습니다.
이항 계수의 역수의 합임을 생각해보면, \(I_n\)은 모든 \(n\)에 대해, 절대로 음수가 될 수 없음을 알 수 있습니다. 그렇다면, \(I_n\)은 항상 \(0\)보다 큽니다.
아래로 유계이면서 단조 수렴하므로, 단조 수렴 정리에 의해 수렴함을 확인할 수 있습니다.
수렴함을 확인 하였으니, 수렴값을 찾아보겠습니다.
이제 \(\lim_{n \to \infty}I_n = \alpha \)라고 합시다.
위의 점화식에 의해 \(\alpha = \alpha / 2 +1\)이고, \(\alpha = 2\) 입니다.
따라서,
$$ \lim_{n \to \infty}I_n = 2 $$
임을 확인할 수 있습니다.
Reference
[1] A.M. ROCKETT, SUMS OF THE INVERSES OF BINOMIAL COEFFICIENTS. C. W. Post Center of Long Island University, Greenvalef NY 11548. pp.434-435, Dec 1981.