이항 계수의 역수의 합

서론

팩토리얼의 역수의 합이 수렴함은 잘 알려진 사실입니다. 이항 계수의 역수의 합도 수렴할까요?

 

이항 계수의 역수의 성질 [1]

 

$$\begin{array}{ccc}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^{-1}& =& \frac{k!(n-k)!}{n!}\\ & =& \frac{(n-1)!(n-k)!}{n!}(n-(n-k))\\ & =& \frac{(k-1)!(n-k)!}{(n-1)!}-\frac{n-k}{n-k+1}\frac{(k-1)!(n-k+1)!}{n!}\end{array}$$

따라서,

$${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^{-1}={(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})}^{-1}-\frac{n-k}{n-k+1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})}^{-1}$$

 

이항 계수의 역수의 합 [1]

이제, $I_n=\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^{-1}$ 라 하였을 때

$I_n$과 $I_{n+1}$ 간의 관계를 구할 것입니다.

 

위에서 보인 성질을 이용하여 식을 정리해줍니다.

 

$$\begin{array}{ccc}{I}_{n+1}& =& \sum _{k=0}^{n+1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})}^{-1}\\ & =& \sum _{k=1}^{n+1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})}^{-1}+1\\ & =& \sum _{k=1}^{n+1}\{{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})}^{-1}+\frac{n-k+1}{n-k+2}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k-1})}^{-1}\}+1\\ & =& I_n-\sum _{k=0}^n\frac{n-k}{n-k+1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})}^{-1}+1\\ & =& I_n-\sum _{k=0}^n(1-\frac{1}{n-k+1}){(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})}^{-1}+1\\ & =& I_n-(\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})}^{-1}-1+1)+\sum _{k=0}^n\frac{1}{n-k+1}\frac{k!(n-k+1)!}{(n+1)!}+1\\ & =& I_n-I_{n+1}+\frac{1}{n+1}{I}_n+2\end{array}$$ 

 

$$I_{n+1}=\frac{n+2}{2(n+1)}+1$$

 

이항 계수의 역수의 합의 수렴성

$a_n=I_n-2$ 라고 합시다.

그러면, 위에서 구한 관계식에 의해

$$\begin{array}{ccc}{a}_{n+1}-a_n& =& \frac{n+2}{2(n+1)}(a_n+2)-1-a_n\\ & =& \frac{-n{a}_n}{2(n+1)}+\frac{1}{n+1}=\frac{2-n{a}_n}{2(n+1)}\end{array}$$

이를 통해 알 수 있는 것은 $2\le n{a}_n$ 일 때 단조감소 한다는 것입니다.

 

$n\ge 2$일때

$I_n=\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^{-1}=2+\sum _{k=1}^{n-1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^{-1}$

$a_n=\sum _{k=1}^{n-1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^{-1}$이므로

$n\ge 4$일때

$n{a}_n=n\sum _{k=1}^{n-1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^{-1}=n({(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})}^{-1}+{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})}^{-1})+n\sum _{k=2}^{n-2}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^{-1}$       (a)

 

$I_1=2,I_2=\frac{2}{5},I_3=\frac{8}{3},I_4=\frac{8}{3}$ 이고,

$k\ge 4$ 부터는 (a)에 의해 단조감소함을 확인할 수 있습니다.

 

이항 계수의 역수의 합임을 생각해보면, $I_n$은 모든 $n$에 대해, 절대로 음수가 될 수 없음을 알 수 있습니다. 그렇다면, $I_n$은 항상 $0$보다 큽니다.

 

아래로 유계이면서 단조 수렴하므로, 단조 수렴 정리에 의해 수렴함을 확인할 수 있습니다.

수렴함을 확인 하였으니, 수렴값을 찾아보겠습니다.

 

이제 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{I}_n=\alpha$라고 합시다.

위의 점화식에 의해 $\alpha =\alpha /2+1$이고, $\alpha =2$ 입니다.

따라서,

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{I}_n=2$$

임을 확인할 수 있습니다.

 

Reference

[1] A.M. ROCKETT, SUMS OF THE INVERSES OF BINOMIAL COEFFICIENTS. C. W. Post Center of Long Island University, Greenvalef NY 11548. pp.434-435, Dec 1981.